您可以要求对方赔偿医疗费等合理费用。手指夹断可能涉及残疾，依据《民法典》等，应赔偿医疗费、护理费等为治疗康复支出的合理费用，及误工减少的收入，残疾还需赔辅助器具费和残疾赔偿金。不及时处理，可能影响赔偿金额及自身权益。
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手指夹断赔偿需分情况处理。轻微伤，可协商赔偿医疗费等；伤残，需赔辅助器具费、残疾赔偿金等；严重残疾，还需考虑护理依赖等问题。
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常见的处理方式是协商或诉讼。建议先尝试与对方协商赔偿，协商不成可提起民事诉讼。选择方式时，应考虑赔偿数额、证据情况及诉讼成本。